第二十一章：有限单元法 —— 简介
本章介绍了与有限元相关的一些基本概念和问题，并简单介绍了如何使用“GEO5 - 岩土工程有限元分析计算模块”（以下简称“GEO5 有限元模块”）解决实际岩土工程问题。
“GEO5 有限元模块”可以模拟和分析各种类型的岩土工程问题。接下来，本章将详细介绍有限元模块的基本功能和建模分析的大致流程，模块中各个功能的更详细的介绍将在其他章节中讲解。
从几何假定的角度，“GEO5 有限元模块”可以解决以下两种类型的问题：
1）平面应变问题：平面应变假设适合解决线性结构问题（例如，隧道、路堤、基坑、大坝等）。线性结构的特点是其一个方向上的尺寸远大于其他两个方向的尺寸。
在平面应变假设条件下，与纵向垂直的所有平面上的应力应变状态都一样，所有分析结果都是每单位延米上的结果。此时，纵向上的应变则为零。因此，对于平面应变问题，我们假设只有和纵向垂直的平面上才有应力应变，同时，考虑到横向应变，和纵向平行的正应力也不能忽略。对于梁单元，和岩土体类似，其分析结果也是每延米上的结果。（详细信息见帮助文档 - F1）。
2）轴对称问题：轴对称假设适合解决旋转对称结构问题。此假设要求结构的几何形式和其所受的荷载都满足旋转对称。典型的轴对称问题有：承受竖向荷载的单桩，圆形基坑开挖，圆形降水孔抽水。
与平面应变问题类似，此类问题本质上也是一个三维问题，但是可以将其转换成二维问题进行分析。轴对称问题中，对称轴总是作为柱坐标（r,z,θ）的原点，且位于旋转方向上的剪应变可以忽略， 因此可以将轴对称问题转换为柱坐标周向上每单位弧度上的问题，类似于平面应变问题纵向上的每单位延米。所以，轴对称问题中的变量有周向（θ）上的正应力和正应变，以及 rz 平面上的应力应变。（详细信息见帮助文档 - F1）。
从分析内容的角度，“GEO5 有限元模块”可以解决以下五种类型的问题：
1）应力应变分析：用于分析解决岩土工程中最基本也是最重要的问题 —— 岩土体的受力和变形问题。例如，初始地应力，孔隙水压力，变形，塑性区分布，地基沉降，支护结构的内力等。
2）稳定流：稳定渗流分析假设岩土体的饱和度不随时间变化；和非稳定流相比，稳定流分析时各个工况阶段的计算结果是完全独立的。
3）非稳定流：非稳定流模块可以分析孔隙水压力（总水头）和岩土体饱和度随时间的变化。达到孔隙水压力不再变化的时间即为达到稳定流所需要的时间。该分析与应力应变分析类似，各个工况阶段的计算结果是相互关联的。
4）边坡稳定分析：采用强度折减法分析边坡稳定性，即对岩土体强度参数（内摩擦角 φef 和粘聚力 cef）进行逐步折减，直到岩土体产生足够大的塑性应变并导致计算结果不收敛。此时，用于折减强度参数的折减系数即为安全系数，这和极限平衡法计算安全系数的原理类似。进行边坡稳定分析时，模型的建立和参数的输入与“应力应变分析”时完全一样。
5）隧道分析：隧道模块用于模拟各种类型的隧道开挖，例如，可以考虑采用新奥法时的3D效应，降低或增大梁单元强度，在梁上施加温度荷载，对所选区域加膨胀压力，监测计算结果等。
图21.1 【分析设置】界面
“GEO5 有限元模块”还有一个“高级输入”的功能。当勾选高级输入时，用户可以为相应的本 构模型输入更多的参数，同时还可以生成“混合网格”（四边形和三角形混合网格）。同样的，勾选“详细结果”后，可在「分析」界面查看更多的计算结果。
注：岩土材料的默认排水类型为排水材料。也就是说，分析时假设地下水为稳定流，岩土体骨架 的变形对孔隙水压力没有影响。此时，孔隙水压力的大小只受外荷载的影响，在分析过程中保持不变。 勾选“高级输入”后，可以在输入岩土材料参数时设置其排水类型为不排水材料。对于不排水情况， 整个岩土材料区域的边界都是不排水边界，此时，采用和排水条件相反的假设，即岩土体骨架的变形 和孔隙水压力是完全耦合的，且岩土体的变形是立刻发生的，不考虑时间的影响。
“GEO5 有限元模块”提供了两种分析初始定应力（第一工况阶段）的方法：
1）自重应力法：该方法采用下式计算岩土体的竖向初始应力：
其中：
γi – 第 i 层土的重度
hi – 第 i 层土的厚度
2）侧压力系数 K0 法：当用户需要自定义侧压力系数时，可以选择该法。例如，超固结土的水平向应力往往比正常固结土大很多（详细信息见帮助文档 - F1）。此时，在输入岩土材料参数时，用户需要输入侧压力系数 K0。如果没有输入 K0 的值，那么 K0 按照下式计算：
其中：
ν – 泊松比。
需要输入的岩土体材料参数和选择的应力应变本构模型或渗流本构模型有关。应力应变本构模型中最重要的参数有弹性模量 E 和泊松比 ν（所有的本构模型都需要输入这两个参数），对于非线性模型，还有另外两个很重要的参数，即内摩擦角 φef 和粘聚力 Cef。孔隙水压力重分布后假设为稳定流状态，且分析时采用有效应力参数作为岩土体的抗剪强度参数。（详细信息见帮助文档 - F1）
材料本构模型的正确选择和输入正确的模型参数是有限元分析中最重要也是最困难的任务。材料模型用于近似的模拟岩土体的真实行为。总的来说，材料模型可以分为两类 —— 线性模型和非线性模型。
注：选择正确的材料模型是得到真实的岩土体应力应变情况的必要条件之一。大部分的岩土工程问题都需要采用非线性模型，例如，基坑开挖模拟中如果采用线性模型，则会得到完全不符合实际的 计算结果。但是，在合适的地方采用线性模型可以大大简化计算过程。帮助文档中介绍了一种常用的 有限元建模流程 - F1。
线性模型的优势在于计算度相对较快，劣势在于得到计算结果不够精确，有时甚至是错误的。当我们仅对岩土体的应力或变形感兴趣，不关心潜在的破坏区域及其破坏模式时，可以采用这种材料模型。如果岩土体只有局部破坏，且该局部破坏对整体破坏没有影响，也可以采用线性模型，但是局部破坏可能会导致分析过程提前结束（详细信息见帮助文档 - F1）。
“GEO5 有限元模块”中提供了以下两种线性模型：
1）线弹性模型：应力应变之间的转换关系采用胡克定律（只适用于弹性变形）。
2）修正线弹性模型：加载时采用弹性模量 Edef，卸载时采用回弹模量（卸载 - 再加载模量）Eur。相比于线弹性模型，修正线弹性模型以更准确的模拟岩土体回弹变形。
如果我们想要模拟更真实的岩土体变形或我们对潜在的破裂区域分布很关心，则有必要选择非线 性模型。软件中提供的非线性模型主要分为两类。第一类模型基于经典的莫尔-库伦破坏理论，包括Drucker-Prager 模型，Mohr-Coulomb 模型和修正 Mohr-Coulomb 模型。使用这些模型时，还可以模拟土体的硬化和软化。这类模型的共同特点是，当沿着静水压力轴（σ1=σ2=σ3）对材料施加压力时， 材料只发生弹性变形（详细信息见帮助文档 - F1）。
第二类模型基于临界状态土力学理论，包括修正 Cam-clay 模型，广义 Cam-clay 模型和亚塑性模型。这类模型可以更好地模拟土体对于外荷载的非线性响应。不同的模型之间不仅仅输入的模型参数不一样，其很多假设条件也是不一样的。
材料线性（弹性）变形和非线性（塑性）变形的分界面即为材料的屈服面。屈服面的数学表达式即为屈服函数，该函数描述了材料的塑性破坏条件。当材料的应力状态位于屈服面上或屈服面以外时，材料将发生塑性变形。
注：非线性模型不仅包含线性模型所需要的参数（用于描述材料的弹性变形状态），还包含相应的材料强度参数（用于描述材料的屈服条件）。塑性变形的发生条件取决于材料的内摩擦角 φ 和粘聚 力 c。剪胀角 ψ 控制着塑性体积应变的大小（详细信息见帮助文档-F1）。
材料模型的选择是否合适首先取决于岩土结构周围的岩土体性质。采用有限元法模拟复杂的岩土工程问题时，材料模型的选择对于参数输入和计算结果都有显著的影响。
创建多段线，模型尺寸：
帮助文档中详细介绍了如何创建多段线，这里不再赘述（详细信息见帮助文档 - F1）。在输入多段线之前，往往需要先定义全局坐标的范围，即所要分析的模型尺寸。在进行有限元分析时，尤其是边坡稳定分析，需要保证模型足够大，从而降低边界条件对研究区域计算结果的影响，得到有意义的结果。
注：除了模型的左右边界范围，模型的底边界深度取值也非常重要。通常情况下，我们将模型底边界设置在不可压缩地基（基岩）处。如果在很深的剖面范围内没有基岩，则假设荷载作用点或结构底部与岩土体的接触面以下，超过一定深度时，附加应力为零，即岩土体不发生变形，该深度即可作为模型的底边界（详细信息见帮助文档 - F1）。
除了用户自己创建多段线，也可以通过“Geo 剪贴板”或“编辑 – 复制数据/粘贴数据”功能将其他 GEO5 模块中的多段线数据导入到“GEO5 有限元模块”中。另外，用户还可以直接导入 DXF 格式的数据来生成多段线，或将已经创建的多段线导出为 DXF 格式。在自己创建多段线时，软件中自带的多段线自动捕捉和修正功能可以大大提高我们的建模效率（详细信息见帮助文档 - F1）。
网格生成：
成功生成网格是创建有限元模型的最后一步，其他内容还包括输入剖面、输入确定结构位置的自由线、输入岩土材料参数、定义接触面类型等。接下来，就可以在各个工况阶段对施工步骤进行建模（例如，填方、挖方、施加荷载等）并分析。生成网格后，软件也会自动生成标准边界条件。标准边界条件如下：
- 几何模型底部边界在 X 方向和 Z 方向均固定；
- 几何模型竖向边界在 X 方向固定。
“GEO5 有限元模块”包含一个内置的几何模型自动校正器。该校正器可以在生成网格之前自动查找线与线之间的交点，查找所有封闭的分区，从而创建合适的几何模型（详细信息见帮助文档 - F1）。生成恰当的有限元网格是得到准确可靠结果的重要一步。“GEO5 有限元模块”包含一个网格自动生成器，从而可以在很大程度上简化创建网格的操作。然而，在创建有限元网格时，用户应当遵循以下规则：
1）通常情况下，网格越密得到的结果越精确，但是，计算和后处理的速度可能降低很多。因此，实现最优网格密度的目标主要取决于用户的经验。在本手册实例中生成网格时采用的网格密度可以作为参考。
2）在应力梯度很大的地方（点支座处，拐角处，开口处等），应当对该区域的有限元网格进行适当的加密。可以在某个点或某条线的周围进行网格加密。加密区域的大小应当是所要求加密范围的 3-5 倍。考虑到已设置的周围区域的网格密度，加密密度和加密范围同样也应当取一个合适的值，这样才能保证在不同的网格密度区域之间可以平滑的过渡。
注：相邻各条线的加密参数应当接近。对于更复杂的问题，可以先建立一个粗糙的网格进行分析， 然后再根据得到的结果对网格进行相应的加密（详细信息见帮助文档 - F1）。
软件默认采用 6 节点三角形单元，并对网格进行平滑处理（详细信息见帮助文档 - F1）。
工况阶段：
建立几何模型并生成有限元网格后，模型的分析和计算在接下来的工况阶段中进行。工况阶段用于模拟逐步施工的过程。正确的定义工况阶段和设置恰当的顺序是非常重要的。每个工况阶段的分析都建立在前一工况阶段得到的结果之上（除边坡稳定性分析外），所有对象的信息和性质都将从一个工况阶段延续到另一个工况阶段。当编辑已有工况阶段或创建新的工况阶段时，软件将采用继承原则（详细信息见帮助文档 - F1）。
第一工况阶段（初始地应力分析阶段）表示岩土体在施工开始前的初始状态。因此，该阶段仅计算岩土体的应力，而应变（位移）则为零。
注：若某个工况阶段不收敛，那么接下来的工况阶段就不能继续进行分析和计算了。为了避免建模错误，建议用户遵循软件作者推荐的建模方法和结构分析方法（详细信息见帮助文档 - F1）。
分析：
在分析进行时，软件总是试图得到一个可以满足给定荷载和边界条件的结果，即总体平衡。在大多数情况下，要得到这样的结果需要进行迭代计算。迭代过程以及收敛结果将显示在「分析」界面的下部面板中。
在任何时候点击“停止”按钮都可以终止分析，这时得到的结果对应于停止时已施加的荷载量。当加载到荷载总量的 100%时，就能得到正确的分析结果。但是，有时由于收敛失败，软件在达到所需荷载大小前就会停止分析，只加载了荷载总量的一部分（详细信息见帮助文档 - F1）。在这种情况下，用户可以调整默认的分析参数，或者修改模型的其他参数以得到收敛的结果：
- 提高结构刚度；
- 减小作用荷载；
- 增加开挖步数；
- 提高已有岩土材料的强度；
- 在发生塑性变形的地方改变所采用的岩土体材料模型；
- 增加加筋材料（梁、锚杆）；
- 增加边界条件；
- 更改迭代设置中的相关参数（例如，增加迭代步数）。
注：塑性应变的分布有时可以说明分析不收敛的原因，因为等效塑性应变的分布表明了可能产生临界破坏面的位置（详细信息见帮助文档 - F1）。
软件默认的分析参数可以保证大多数情况下分析过程具有足够的精度和效率。但是，一名有经验 的用户也许需要修改默认的设置，或者需要检验各参数对于分析精度和分析过程的影响（详细信息见 帮助文档 - F1））。
注：对默认分析参数的更改需要格外谨慎。在做出任何的更改之前，用户需要知道可能产生的结果。尤其是当更改的参数不恰当时，可能会大大降低计算的速度，可能会导致不收敛并最终得到不正确的结果。
点击“设置”按钮，在弹出的“分析设置”对话框中，可以修改一下分析参数：
- 分析方法及其相关参数：Newton-Raphson（牛顿-拉弗森）法 ——NR法，弧长法 ——AL法；
- 刚度矩阵更新：初始应力法；Newton-Raphson 法或修正 Newton-Raphson 法；
- 初始荷载增量步：在第一个荷载增量步中施加的荷载占总荷载量的比例（默认初始荷载增量步为总荷载量的 25%）；
- 最大迭代次数：在一个荷载增量步中，迭代收敛所允许的最大迭代次数；
- 迭代收敛准则：迭代收敛的容差设置 – 位移容差，不平衡力容差，能量容差；
- 线性搜索方法：设置达到平衡条件的比例因子 η，该因子可以调节计算速度的快慢；
- 弹塑性：设置满足所选屈服条件的容差。
注：各个分析参数的具体含义，包括平衡条件和屈服条件的基本方程，在帮助文档中都有详细介 绍（详细信息见帮助文档-F1）。
计算结果后处理：
结果的后处理（可视化）是“GEO5 有限元模块”很重要的一项功能。软件提供了以下几种后处理功能：
- 绘制变形网格
- 岩土体内部变量等值图（也能显示和其他工况阶段相比的总值或增量值）
- 沿梁、接触面分布的内力
- 锚杆、支撑等加固结构中的力和反力
- 地表沉降曲线
- 竖向截面上的变量
- 变量的矢量方向图
注：软件采用了特定的坐标系来显示计算结果。所有显示在窗口中的计算结果都可以添加到计算书中（详细信息见帮助文档-F1）。
为了保证结果图的清晰程度，不可以在图形窗口中同时绘制某些计算结果。例如，不可以同时绘制变形网格和梁的内力。此时，只允许绘制其中一项。如果选择了一个非法组合，对话窗口的底部会显示警告信息。
软件允许在结构内部和外部的任意位置添加任意数目的点监测器和线监测器。监测器有以下两个功能：
- 显示监测点处变量的值（点监测器）
- 显示当前工况阶段和前一工况阶段或添加监测器工况阶段相比，两点之间距离的变化量 d[N]（其中 N 表示第 N 工况阶段）（线监测器）。
