Morgenstern-Price法

Morgenstern-Price法是根据极限平衡发展起来的一种通用条分法。它需要满足各条块上作用力和作用力矩的平衡条件。通过土条间接触面将滑动面上方的土体划分为若干条块。各条块上的作用力如下图所示：

静力图 – Morgenstern-Price法

每个条块都假设承受有与Spencer法中相同的作用力。为了求解各条块的极限作用力和力矩平衡方组，在Morgenstern-Price法中做出了如下假设：

• 各条块间的土条间接触面是垂直的
• 条块重量 W_i 的作用线穿过第 i 块条块对应滑面段的中心点，即 M 点
• 法向力 N_i 作用在第 i 块条块对应滑面段的中心点处，即 M 点处
• 各条块承受的条块间作用力 E_i 的倾斜角度（δ_i）是不同的，在滑面端点处 δ = 0

在上述假设中已经列出了Spencer法和Morgenstern-Price法的唯一不同点。条块间作用力 E_i 倾斜角度的选取是通过半正弦函数来实现的 - 软件自动选择下图中的一种函数形式。函数形状的选取对于最终结果的影响较小，但是选择恰当的函数形式会提高计算的收敛速度。半正弦函数在边界点 x_i 处的函数值 f(x_i) 乘以参数 λ 得到倾斜角度 δ_i 的值。

半正弦函数

此方法中使用到和Spencer法中相同的方程式：

• （1）作用在滑面上的法向力有效应力值和总应力值之间的关系
• （2）表征某滑面段上法向力和剪切力（N_i 和 T_i）关系的Mohr-Coulomb条件
• （3）第 i 滑面段法线方向上的作用力平衡方程
• （4）沿第 i 滑面段切线方向的受力平衡方程
• （5）条块上作用力关于点 M 取矩的力矩平衡方程

整理作用力平衡方程（3）和（4）得到下列递归公式（6）：

在已知 δ_i 和 SF 值的情况下，上式能够计算出条块间所有的作用力 E_i。此方法假设在滑面起点处（坡脚） E 值是已知的，即 E₁ = 0。

从力矩平衡方程（5）得到另一递归公式（7）：

对于给定的 δ_i 值，可以由上式计算得到所有条块间作用力的力臂值 z_i。其中坡脚条块左侧的力臂值z₁=0 。

采用以下的迭代过程计算安全系数 SF：

1. 角 δ_i 的初始值根据半正弦函数确定（δ_i = λ * f(x_i)）。
2. 当假设滑面末端条块上的 E_n+1 值为 0 时，对给定的 δ_i 值，可以根据方程式（6）计算出安全系数 SF。
3. 使用在前面步骤中确定的 E_i 值，根据最后条块上作用的合力矩值为零的条件，由方程式（7）求得一个新的δ_i值。函数值 f(x_i) 在迭代过程中保持不变，仅迭代参数 λ。方程（7）并没有给出 z_n+1 的值，而是假设等于零。在此取值条件下，必须满足力矩平衡方程（5）。
4. 重复步骤 2 和 3 直到 δ_i 的值（即参数 λ）不再变化。

为了使迭代过程收敛，就必须避免不稳定解。当表达式（6）和（7）中的分母为零时会出现这种不稳定求解的情况。在式（7）中，当 δ_i = π/2 或 δ_i = -π/2 时，分母为零。所以角 δ_i 的取值范围为 (-π/2; π/2)。

当满足下式时，方程式（6）中的除数为零：

另一项防止数值不稳定性的检查是对参数 m_α 的验算 - 必须满足以下条件：

因此在迭代计算之前，必须找出满足上述条件的最小临界值（SF_min）。使用小于临界值 SF_min 的数值计算后会得到不稳定解，因此将 SF 设置为仅比 SF_min 大一微小增量的值进行迭代，从而保证迭代过程中得到的所有 SF 的值都大于 SF_min。

一般而言，严格的计算方法比简单方法（Bishop、Fellenius）的收敛性要差。存在收敛问题的情况有：滑动面区段太陡，几何模型复杂，超载突变等。如果得不到计算结果，建议稍微改变一下输入的数据，比如：滑面不要太陡，在滑面上确定更多的点位等。或者使用一些简单的分析方法。

参考文献：

Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1965. The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, 15(1): 79–93.

Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1967. A numerical method for solving the equations of stability of general slip surfaces. Computer Journal, 9: 388–393.

Zhu, D.Y., Lee, C.F., Qian, Q.H., and Chen, G.R. 2005. A concise algorithm for computing the factor of safety using the Morgenstern–Price method. Canadian Geotechnical Journal, 42(1): 272–278.