案例3：弹性地基上条形基础的沉降

本案例用于说明OptumG2不仅可以计算极限荷载的上限解和下限解，还可以计算弹性能量的上下限解，即变形的上下限解。本案例的模型参数如图3.1所示。模型中地基土采用弹性本构模型，基础为一个作用有轴对称荷载的无重度刚性条形基础。基础和地基土分别采用软件默认的刚性材料（Rigid）和线弹性材料（Linear Elastic）。

图3.1 作用在弹性地基上的浅基础      

采用量纲分析法，基础的竖向位移可以采用下式表示：

 （3.1）

其中，q是作用在基础上的荷载，B是基础宽度，E是杨氏模量。当几何尺寸固定时，β是一个仅和泊松比有关的参数。

和在「理论手册」中讨论的一样，「下限单元」和「6-节点高斯单元」给出了弹性能量的界限。弹性能量等于外部能量，在本案例中，由于沿基础底部的土体位移均相等，因此弹性能量为作用在基础上的荷载乘以基础位移。所以，「下限单元」给出的是高估的位移结果，而「6-节点高斯单元」给出的是低估的位移结果。      

接下来，我们采用默认的杨氏模量 E = 30 MPa，荷载大小为 q = 150 kN/m²。根据计算得到的竖向位移，由式（3.1）可以得到β的值。对于两种单元类型，均采用10000个网格单元进行计算。分析类型既可以采用「弹塑性」也可以采用「弹性」。       

计算结果如表3.1所示。

表3.1 网格数量为10000时，弹性地基上浅基础弹性位移计算中参数β（式3.1）上限和下限

对于典型问题，为了给出误差指标，采用100个网格单元重新进行分析，计算结果如图3.2所示。从图中可以看出，「6-节点高斯单元」相对于「下限单元」而言得到的结果更接近真实解一些。这一点对于大部分的问题都是适用的。

图3.2 网格数量为100时，采用下限单元和6-节点高斯单元得到的参数β