5 变分原理

变分原理是OPTUM G2的核心，所有问题都是依此解决。以下各节详细介绍了变分原理的基本概念及其在OPTUM G2中的使用细节。

5.1变分原理概念

可以将变分原理视为一种问题优化，它提供了表达物理控制方程的另一种方式。举一个简单的例子，胡克定律：

F = kx    (5.1)

该控制方程的另一种说法是求导

最小化(5.2)

将1/2 kx ² -Fx 对x求导并令结果等于零，可以轻松地证明（5.1）和（5.2）相等。

更复杂的示例是图5.1中所示的线弹性桁架

图5.1：线弹性桁架

使用标准的有限元术语，控制方程可写为

Ku = f   (5.3)

其中K是刚度矩阵，而u和f分别是节点位移和节点力的数组。目前，令所有位移都未知，节点力数组仅指外部载荷。不考虑支座。上式可以看作是胡克定律的多维等价形式

优化或变分公式如下

最小化 (5.4)

现在可以通过施加适当的约束来解决边界条件。首先考虑左边两个支撑。此处的位移为零或通常

规定的某些值（在这种情况下为零）。因此，上述优化问题应扩展为

最小化 

满足 (5.5)

其中矩阵A包含零和一，向量u0包含规定的位移（例如零）。

使用拉格朗日乘数可以解决此问题。首先定义拉格朗日函数，这是目标函数（数量有待优化），并加上确保满足约束条件的限制项：

(5.6)

其中r是一组拉格朗日乘数。可以证明，最小化拉格朗日法可以解决原始的优化问题。换言之，L相对于的变量u和r的梯度为0：

(5.7)

这些方程称为与优化问题（5.7）相关的最优条件：求解它们可以解决优化问题。从物理角度看，第一组方程是原始的控制方程，A^Tr项很与明显拉格朗日乘数相关。第二组方程只是原始优化问题中施加的运动学边界条件。

更复杂的情况是支撑与下部桁架间的距离ub。该支撑要求满足ui≥-ub的不等式约束类型，其中ui是支撑上方节点的垂直位移。一般而言，我们可以将具有一般不平等约束的优化问题扩展为：

最小化 

满足 (5.8)

或等效地，引入所谓的松弛变量s：

最小化 

满足  (5.9)

同样，可用拉格朗日乘数解决该问题。拉格朗日方程

(5.10)

其中ρ是Lagrange乘数的附加集合。最优条件由下式给出

(5.11)

ρ被认为是与不等式约束相关。另外，至关重要的是对s的非负性需要施加了以下互补条件：

(5.12)

其中n是数组的长度。这些条件具有以下物理意义。假设si =0。然后用等式满足相应的不等式约束。换言之，桁架与支撑之间的距离为零。这样可能发生ρi> 0的值。相反，如果si> 0，则桁架与支撑之间仍然存在间隙，ρi= 0。

比较上面考虑的三种优化问题–无约束问题（5.4），等式约束问题（5.5）和不等式约束问题（5.9），由于互补条件的非线性，最后一种问题最难解决。确实，虽然可以直接求解前两个问题，但与（5.9）关联的最优性条件的求解需要迭代过程。在OPTUM G2中，此任务是使用通用优化求解器SONIC来执行的。