1 应力与应变

本节简要概述了固体的基本概念。为下文作参考，在体积V和边界S的固体上作用体积力b。S_u为边界，另一边S_σ有牵引力t作用并产生位移。

图1.1：体积V边界S=Su∪Sσ的固体，牵引力t作用在Sσ，支座为Su. 

在整个过程中均采用标准的力学标注习惯，即拉应力和拉应变为正。

1.1应力与平衡

一般三维情况下，点的应力状态根据六维应力向量定义：

σ=(σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx)T            (1.1)

在平面应变中，两个剪切应力为零。令z为平面外方向。因此有：

σ=(σx,σy,σz,τxy)T                (1.2)

对于二维平面应变，平衡方程为：

(1.3)

其中b=(bx,by)^T作为体积力。这些方程可以以矩阵形式表示为

(1.4)

其中

(1.5)

静态边界条件可以写成

(1.6)

其中tx和ty是牵引t的分量，法向量n =（nx，ny）^T垂直于边长的方向。等式可以矩阵形式表示为

(1.7)

其中

(1.8)

1.2位移、应变及相容性

一般的三维情况下，点的应变状态可根据六维应变向量定义：

ε=(εx,εy,εz,γxy,γxz,γyz)T (1.9)

在平面应变中，平面外应变以及两个剪切应变均为零。令z为平面外方向。因此有：

ε=(εx,εy,0,γxy)T (1.10)

假设位移较小，则应变与位移有如下关系

                     (1.11)

其中u =（ux，uy）^T是位移。 这也可以写成

ε = ∇u  (1.12)

其中∇由（1.5）给出。∇具有两个用途：作为平衡算子和应变位移算子，这对于接下来讨论以及OPTUM G2的许多理论都是至关重要的。

运动边界条件可以表示为

u = u_b on S_u   (1.13)

其中ub是边界位移。

1.3虚功原理

下文将广泛使用虚功原理。该原理表述如下。考虑应力场σa，满足静态平衡和边界条件：

(1.14)

此外，考虑位移场ub和应变场关系如下：

εb = ∇ub   (1.15)

可推导下式成立：

(1.16)

这就是虚功原理。需要强调的是，应力场和位移/应变场不一定相关。事实上虚功原理本质上不对本构模型做任何假设。

虚功原理的另一种说法如下。令σ为应力场，满足

(1.17)

对于所有位移和应变场

ε = ∇u (1.18)

因此

    (1.19)

虚功原理的这种表述是标准有限元方法的核心。