“模量”大荟萃——GEO5和G2常见模量参数简介
在使用GEO5或G2进行计算分析的时候，我们经常会遇到要输入各种模量参数，很多用户不知道这些模量到底是什么意思，该怎么取值，所以本文做一个简单梳理，以便于各位用户更好的使用软件。
模量是指材料在受力状态下应力和应变的比值，量纲是L-1MT-2，常用单位是MPa和GPa。如果在应力和应变上加上限定条件和修饰词语，就会衍生出不同的模量，比如最常用的弹性模量E（或杨氏模量），是指材料在弹性变形阶段正应力与正应变的比值，如图1就是低碳钢拉伸过程的应力-应变曲线图，图中Oa段为弹性变形，该段的斜率值即为弹性模量。
图1：低碳钢拉伸过程的应力-应变曲线图
在弹性变形阶段剪切应力与剪切应变的比值，则称为切变模量G（或剪切模量）。此外，还有一种体积模量K，指的是材料在弹性变形范围内，平均应力（某一点三个主应力的平均值）和体积应变的比值，与弹性模量的关系可表示为
,其中μ为泊松比。
以上三个概念在弹性力学或线弹性材料当中应用比较广泛。除了弹性模量，切变模量和体积模量这两个模量在岩土分析当中则用的比较少。
实际上，我们在用软件分析岩土问题的时候，遇到最多的是弹性模量E、压缩模量Es和变形模量E0。弹性模量的概念在上文中已给出，而对于压缩模量和变形模量，笔者在查阅资料之前，认为二者的区别主要在于压缩模量是室内试验得到的结果，变形模量是野外原位测试的结果。然而这种认识是不准确的，实际上二者最大的区别在于试验条件是否完全侧限（即不允许侧向变形）。压缩模量是指土在完全侧限条件下，竖向正应力与相应的变形稳定情况下正应变的比值，一般通过室内固结试验测得。变形模量则是指土体在侧向自由膨胀条件下，正应力与相应正应变的比值，既可通过现场原位试验（比如平板载荷试验、扁铲侧胀试验、旁压试验等）测得，也可以通过室内三轴压缩试验获得。
与弹性模量不同，测量压缩模量和变形模量的应力-应变曲线是非线性的。如图2所示，在侧限压缩条件下，压缩模量随竖向应力的增加而增加；在常规三轴条件下，变形模量随偏差应力的增加而减小。由此可见压缩模量和变形模量都具有分段性，不同压力范围有不同的取值。因此也就衍生出不同取值方法下的模量参数，如图3展示的就是变形模量的不同取值，包括了切线模量和割线模量。
图2：两种室内试验的应力-应变关系曲线 图3：变形模量的不同模量类型
典型的切线模量是初始切线模量（或叫初始弹性模量），是土体应力-应变曲线初始段切线斜率最大的部分，可以用来表征土体弹性变形阶段的模量。典型的割线模量是E50，对应土体峰值应力（破坏时的应力）一半时的应力与相应应变的比值，如图4。
从图4和图5可知，土体在荷载的作用下产生变形，在外荷载卸除后，土的应力-应变关系并没有回到原点，变形中有一部分是可以恢复的，而另一部分是不可恢复的，这个过程说明了土体材料典型的弹塑性。土体回弹和再加载过程一般可以用一个模量表示，即回弹模量Eur，假设能够回弹的变形都是弹性变形，那么回弹模量近似等于初始弹性模量，根据经验，土体初始弹性模量约为变形模量的3~5倍，所以当没有试验资料时，回弹模量一般按变形模量的3~5倍取值。这个经验十分有用，比如在使用GEO5有限元分析模块定义修正线弹性模型、Mohr-Coulomb弹塑性模型或者D-P模型时，以及使用G2定义HMC（硬化摩尔库仑）材料时，都需要输入材料的回弹模量。
图4：割线模量E50
图5：土的加载-卸载应力应变曲线
在假定相同起始状态的条件下，三轴压缩的变形模量E0和侧限压缩试验中的压缩模量Es可以通过广义胡克定律推导出二者的关系，公式如下：
其中μ为泊松比。上式是基于线弹性假定的理论关系式，但土体并不是理想弹性体，所以按上述公式换算在大部分土体中都不太符合。在GEO5的帮助文档中也提到：实践经验表明由变形模量推导而来的压缩模量和由现场实测荷载沉降曲线得到的压缩模量往往会出现很大的不同，甚至处于不同的数量级。一般来说结构性较弱的软土比较符合这个公式。
此外，当使用G2分析，选择Tresca材料时，需要输入不排水变形模量Eu，该值可通过室内不排水三轴压缩试验或野外原位测试试验获得。另外，GEO5有限元分析模块进行应力应变分析时，允许用户定义随深度增加的材料刚度，即土体不同深度处具有不同的模量，如图6所示，可以输入弹性模量随深度的变化率，相关理论可参考https://wen.kulunsoft.com/question/865。
图6：GEO5有限元模块岩土材料参数中定义随深度变化的弹性模量
综上所述，那么应该何时采用何种模量呢。本文建议，在一维沉降分析时，比如利用分层总和法计算沉降或者固结分析时，建议土体采用压缩模量进行分析；而在进行三维变形分析，比如边坡稳定性分析和基坑开挖分析时，土体则可以采用变形模量；而岩体和混凝土结构一般采用弹性模量进行分析。土体的初始弹性模量主要用于计算瞬时沉降。
以上介绍的各种模量都应当通过可靠的实验来测得，如果没有试验资料，可参考地区经验取值或参考GEO5帮助文档给出的建议值。
