经验公式是怎么得到的？

经验公式用于描述岩土参数之间的定量关系。由于岩土工程中参数测定方法的多元化，对同一岩土体通常可以采用各种不同方法进行测试，为经验公式的统计提供了大量原始数据。又由于岩土工程中参数测定的不确定性比较大，也需要通过不同的方法进行印证与检验。有时由于某些试验的条件比较困难或者费用比较昂贵，希望用比较方便、简单的测试结果，通过经验公式得到需要的参数。这些都是岩土工程中经验公式大量使用的客观需要。因此，经验公式在试验室工作和工程勘察、设计中广泛使用。

统计经验公式所依据的数据是对比试验的资料。例如，基于对比试验资料统计地基承载力和原位测试数据之间经验公式，对比试验是指对同一个场地，既做载荷试验，又做原位测试。当然原位测试的土层、测定的高程和位置都与载荷试验点是匹配的，这样得到的数据组是一一对应的，积累了许多试验之后，就能得到地基承载力与静力触探比贯人阻力或标准贯人击数之间的数据系列。

将这样的对比试验数据画成散点图，可以根据散点群的趋势以分析地基承载力与原位测试指标之间存在什么样的相关关系。

对于自变量与因变量一一对应的数据，可采用解析法建立经验公式；但对于离散性的数据，则只能采用统计的方法求解经验公式中的回归系数。

岩土参数之间的关系可能是线性的，也可能是非线性的，这需要通过分析来确定。最简单的方法是将试验数据画在直角坐标图上，用图解法分析变量之间呈什么样的关系，对有些参数之间的经验关系可以根据专业知识判定线形。

岩土工程中常用的经验公式在直角坐标图上有如图1-1 所示的三种类型：第一种类型是当自变量增大时，因变量逐渐减小；第二种类型是当自变量增大时，因变量随之增大，但斜率逐渐减小并趋于常量或减小到零；第三种类型是当自变量增大时，不仅因变量随之增大。而且斜率也不会减小。

式（ 1-1 ）所示的幂函数是一种适应性比较强的线形，能广泛地适用于描述上述三种类型的经验关系。

                                                                                    y=ax^{b                                              (1-1)}

当b<0时，它符合第一种类型的曲线特征；当0<b<1 时，它符合第二种类型的曲线特征；当b > 1 时，它又符合第三种类型的曲线特征。介于上述三种情况之间的中间过渡状态是两条直线。当b=0 时， z与y无关，成为一条截距为a的水平线；当b = 1 时，则表现为一条斜率为a的直线方程。因此，幂函数可以用来初步判别经验曲线的数学类型。

对式（ 1-1 ）的幂函数等式的两端取对数：

                                                                   （1-2）

令Y = lgy,X = Igx,A =lga， B = b ，则变换为线性方程：

                                                                     (1-3)

式（1-3 ）中的A,B 两个系数可以用统计的方法求得，称为回归系数。

对于下面一些其他类型的非线性函数，也可通过不同的变量变换，变换为式(1-3）所示的线性方程。这些非线性的经验公式是在岩土工程是常用的，其线形比较简单，统计拟合也比较方便。

                                                                   (1-4)

                                                                      (1-5)

                                                                       (1-6)

                                                                      (1-7)

对于线性关系，可以直接进行统计得到线性方程的待定参数。对于非线性的经验公式，可以用上述不同的坐标变换方法将曲线变换成直线的关系，然后进行统计。因此，一般常用的经验公式总可以通过线性回归的统计方法求解经验公式的待定系数。

利用统计数学的方法可以求解线性方程中的待定参数，在岩土工程的参数分析中，采用最小二乘法已有足够的分析精度。

假定实测数据的散点图如图2 所示。假定代表这些散点的回归方程线已经画出，我们取任意点M 进行分析， M 点与回归线在纵向的坐标差为Y-Y’， Y 为实测值， Y’表示用自变量X 代人回归方程求得的数值，两者的差值（ Y-Y’）称为离差。除了在回归线上的散点外，其他的点都存在离差。不在回归线上的散点越多，散点离回归线越远，则离差的总和就越大。由于离差有正有负，离差的代数和就有互相抵消的可能性，就反映不出误差的大小，所以通常用离差的平方和Q来表示：

                                                                 (1-8)

对于一定的散点群，当直线的位置和走向发生变化时，离差平方和随之而变化，在这样的变化中总能找到一个最小的Q 值，则与之相应的直线位置应该是最佳的。因此，以离差平方和最小为条件确定的回归系数A 和B 应该是最理想的，也就是我们要求的结果，这种确定回归系数的方法通常称为最小二乘法。

根据求极值的原理，离差平方和最小的条件为：

                                                                 (1-9)

                                                                         (1-10)

得到用下式表示的回归系数A 和B：

                                                               （1-11）

                                                                 （1-12）

回归系数既然是在离差平方和最小的条件下求得的，由此必然存在着剩余的离差平方和。剩余的离差平方和分配到每个数据上的部分称为回归方程的剩余方差，剩余方差的平方根称为回归方程的剩余标准差。

                                                                （1-13）

剩余方差是衡量经验公式精度的指标，而衡量两个指标之间关系密切程度的指标是相关系数r。

如果散点都在一条直线上，则对任一对数据都满足δz Y - Y' = 0 ，则Q =0;如果散点满天飞，两个变量完全不相关，回归不起作用，则：

                                                            （1-14）

基于对上述两种极端情况的分析，提出一个指标来衡量介于这两种极端情况之间相关程度的指标，称为相关系数。

                                                                    （1-15）

对于完全相关的情况，相关系数r=l ；对于完全不相关的情况，相关系数r =0;对于介于中间状态的情况，相关系数z 变化于（ 0，1 ）区间。

对于非线性的经验公式，在求得线性的回归方程以后，还需要进行系数变换，将线性方程变换回原来的非线性方程，得到非线性的经验公式。得到经验公式之后，需要进行回代检验，以检查统计计算是否正确。

在各种手册中的这一类公式，都是在原位测试与载荷试验资料对比分析的基础上，统计出来的回归方程。由于对比的载荷试验是零埋深和小尺寸压板，因此，应用这些公式估计的承载力是深宽修正以前的承载力，应用时应根据实际的基础尺寸与埋置深度，对得到的地基承载力进行深宽修正。

请注意这里说的是“估计”地基承载力，可能有些人接受不了我的这种说法，认为应该用“确定”或“计算”这一类词才显示勘察报告有水平。其实不然，这就涉及对这类经验公式来历的了解和对回归方程误差的认识。

在岩土工程的试验、量测工作中，经常需要整理分析数据。在有些研究工作中需要通过试验数据的整理，求得士的某些计算参数；或采用反分析的方法从实测资料反求计算参数；有时将计算结果和实测数据进行对比以验证计算模型或计算方法的正确性等。这是解决岩土工程问题的常用方法，也是将实际经验上升为理性认识的正确途径。但如果没有正确地运用数据处理的方法，或者缺乏严格的物理概念，那么数据处理的结果仅是一种数字游戏，甚至会形成错误的判断，主要有下面三种类型的问题：

(1)当待定参数的个数超过试验数据的数量时，采用内插的方法得到足够多的数据个数以满足准则方程的数量要求，甚至提出“可通过插值的方法，增加控制方程数，使独立方程个数大于或等于优化反分析的参数个数”。这个提法显然是不正确的、相互矛盾的。插值与其所依据的数据并不是独立的，则增加的方程就不是独立的，插值再多，方程再多也不满足独立方程个数大于或等于优化反分析的参数个数的数据处理基本要求。例如，根据试桩曲线的数据计算荷载传递函数的待定系数，一般Q-s 的试验数据只有10 对；如待定参数的个数超过10 个就无解，除非在试验时增加试验数量或数据的数量。

(2)根据反分析（或试验资料整理）得到的计算参数，用数值分析的方法求得土体或结构物的反应，将计算的结果和实测的数据进行对比，两条曲线非常接近就说明理论方法是正确、合理的。这里非常关键的问题是验证用的实测数据必须和反分析（或试验资料整理）所依据的数据互相独立，即必须是两套数据。但目前的论文中，对此都没有交代清楚。事实上，很多论文的所谓“验证”所用的数据就是反分析所依据的那一套。这种比较并没有验证的任何物理概念，而仅仅是数据处理中的回代，用以检查数据处理计算是否出错。那两条曲线之间的差别并不是理论和实测之间的不一致，而是数据处理方法所容许的误差。如果用的是最小二乘法，那就是满足离差平方和为最小时的剩余离差。

(3)验证的方法上不严格，有任意性。如果实测（或试验）曲线有很多条，如在相同条件下的平行试验，在建筑物对称位置的观测数据，但这些数据或曲线之间往往存在一定的差异，验证时不能回避这种差异，只能从统计平均的概念上去比较理论计算和实测结果之间的吻合程度。但目前一些论文并不给出全部的资料，也不从分析实测数据之间的离散性上来说明理论计算与实测数据之间符合程度的评价标准，而是仅给出一条曲线或一族曲线来说明理论和实际吻合得非常好。